完全平方公式的探索与简单应用优质教案设计

《完全平方公式的探索与简单应用》

广东省珠海市斗门区城东中学

范玉霞

一、教材分析：

《完全平方公式的探索与简单应用》是青岛版初中数学七年级下册第12章《乘法公式与因式分解》中的内容。

（一）教材的地位与作用：

完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，学习公式可以化简某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算时都会反复运用公式，因此它是学生学习计算的基础。

（二）教学目标：

根据课标和教材对本节的要求以及学生的认知特点和认知水平，我确定本节课的教学目标：

1、知识与技能：

掌握完全平方公式的结构特点；会应用公式进行简单的计算和解决实际问题；

2、数学思考：

通过经历完全平方公式的探究过程，体会数形结合的思想，熟悉完全平方公式的特征，培养发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。

3、解决问题：

了解公式的几何背景，学会初步的代数恒等变形；

4、情感与态度目标：

体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

（三）教学重难点：

重点：理解公式的本质(结构特点)，并会运用公式进行简单的计算。

难点：了解完全平方公式的几何背景；对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确使用；正确、灵活地选用数学模型。

二、学情分析：

1

1、学生刚学完多项式乘法、平方差公式，有代数式恒等变形的初步基础，初步形成对数学问题的合作探究、归纳总结能力，但是抽象思维能力、逻辑思维能力、数学转换能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定的难度。

2、八年级学生思维活跃，积极性高，具有很强的好奇心和好胜心理。

三、教法、学法分析：

1、教法：

布鲁纳说：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型图书馆，而是使学生亲自进行如数学家思考数学，如史学家思考史学那样，使知识的获得过程体现出来。”所以本节课特别重视知识的生成过程和学生的参与程度，从完全平方公式的几何背景为切入点，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜想、验证与交流。

2、学法： 根据本节课特点，引导学生积极思考，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生的主动性和积极性。

四、课前准备：

课前每位同学需准备四张厚纸，规格要求如下：一个5cm×5cm正方形，两个2cm×5cm长方形，一个2cm×2cm正方形。

五、教学过程：

为实现既定教学目标，并突破重难点，我制订了以下五个教学环节和时间分配。

四、课堂小结，形成知识系统（2分钟）

三、学以致用，训练思维发散点（15分钟）

二、动手操作，引发知识生长点（25分钟）

一、创设情境，点燃学生兴奋点（2分钟）

五、布置作业，延伸新知（1分钟）

2

教学环节

教学内容

阿凡提有两块边长分别为a和b的正方形土地（如图1），巴依老爷有一块边长为(ab)米的正方形土地（如图2），贪教师活动

1、教师利用课件展示问题情境。

2、教师乘机引出课题，明确学习任务。

学生活动

学生积极思考、探讨，寻求结果。

设计意图

通过创设生动有趣的故事情境，力求更好地激发学生的学习兴趣和学习积极性，并为本节课的教学埋下伏笔。

一、

创设

情境

，

点燃

学生

兴奋

点

心的巴依老爷一直很眼红阿凡提的两块地，他想阿凡提的两块地肯定比我的一块地多，我必须把它换过来！阿凡提想，巴依老爷逼着我用他的一块地换我的两块地，我该不该跟他换呢？会吃亏吗？

二、

一、动手操作，探究完全平方公式的几何背景

1、智力拼图：

让学生拿出课前准备好的四张厚纸：一张边长为5cm的正方形；一张边长为2cm的正方形；两张长为5cm、宽为2cm的长方形。用这三种纸片，拼成一个大正方形。

2、展示学生拼图成果，并要求学生用不同方法记录其面积。

学生拼图情况可能有以下两种：

3 教师引导学生拼图，并在课堂上巡视，对有疑问的小组进行指导。

动

手

操

作

，

引

发

知

识

生

长

点

学生拼图

通过学生的动手操作，提高学生的观察力、想象力、动手实践能力。

整体考虑：(52)249

局部考虑：5252249

得到：(52)225222

3、评价概括，辩证新知

教师追问一：

若将题目中的数据换成a和b，面积二

该如何表示？请看下面的问题：

、

如图，我校要把旧的边长为a米的正动方形体育场馆的边长增加b米，扩建成新手的体育场馆，求新场馆的面积。

操

作，

引

发

知

识

生

长

22

引导学生从两种角度思考大正方形的面积：一是从整体考虑，二是从局部考虑。

教师在拼图基础上提出问题。

2

学生展示拼图成果，并用不同方法记录大正方形的面积

学生结合图形，独立思考，探究结论，汇报探究结果。

学生独立完成代数验证。

点

整体考虑：(ab)2

局部考虑：a2abb

2

此时学生会发现：这两种表示方法，

结果都是大正方形的面积，所以

ab2a22abb2，

教师引导学生用多项式乘法法则验证公式，并归纳公式。

4

追问二：

你能用多项式的乘法法则来验证公式：aba2abb？

222

为完全平方公式的几何背景做好铺垫。

从数到字母，从特殊到一般，为学生理解完全平方公式的几何背景降低了难度。

让学生体会到数学来源于生活，生活中处处有数学。

在学生正确演算的基础上，引导学生与几何拼图的对比，从几何背景理解完全平方公式。从而，充分地让学生感受数学的“数形结合思想”。

追问三：

我们学***方公式是“双胞胎”，还有一个是两数差的平方。

(ab)2=？

学生大致有以下三种做法：

（1）使用多项式乘法；

（2）化两数差的平方为和的平方：

即：(ab)2a(b)

2

1、教师引

导学生用多种

方法验证公式。

2、在方法

的选择上教师

应注意学生存

a22a(b)(b)2a22abb2

在个体差异，由学生展示其思维过程，并对不同方法进行比较。

师生一起归纳公式。

让学生观察公式，总结公式的结构特二、动手

操作，

引整体考虑：(ab)2

发知局部考虑：a2abb(ab)

识22生 a2abb

长点

得到结论：

（3）面积法：

图Ⅰ的面积可表示为：

(ab)a2abb

归纳公式：

222ab2a22abb2

(ab)a2abb

4、观察公式，辨明真身

Ⅰ、让学生观察公式，总结公式的结构特点。

（1）它们分别表示的是什么样的两个多项式相乘？（即运算对象的特征）

（2）结果怎么样？（即运算结果的特点）

5 2221、由前面知识合理迁移到新知识，使学生更易理解新公式。

2、让学生主动学学生完习，开阔学生思路。

成公式的推3、渗透换元、化导。并展示归、数形结合等思想，思维过程。

发展学生符号感和推

理能力，增强学生解决

问题的能力和创新能

力。

4、为突破难点做

铺垫。

师生一

起归纳公

式。

通过观察使学生学生观更明确公式的结构特察公式，自点，更好地突出了本节己总结公式课的重点。也提高了学

完全平方公式的语言表述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

二、

动

手Ⅱ、平方差公式与完全平方公式进行比操作，较，洞悉二者的区别：

（1）形式不同；

引（2）结果项数不同；

发（3）符号不同；

知

识

生

长点

5、解决疑问，突出重点

我们再回到课前的问题，阿凡提该不该与巴依老爷换地呢？

（1）让学生用手中的纸片分别拼出面积为点，用语言描述完全平方公式。

引导学生对平方差公式与完全平方公式进行比较

教师引导学生完成拼图，并进行比较。

(ab)和ab的图形。

（2）让学生用手中的纸片分别拼出面积为222(ab)和ab的图形。

222的结构特点。

学生观察比较。

学生完成拼图，比较区别。

生的归纳总结能力、口头表达能力。

通过完全平方公式与平方差公式的比较使学生理解这两者的区别，预防公式混淆。

1、通过图形面积的比较，以最直观的方法让学生认识(ab)2和a2b2不等关系。

2、加深了对正确认识的理解。再次帮助学生直观地理解(ab)2与(ab)2的几何模型，数形结合的思想也得到了巩固和延伸。

通过第1题练习学生口答。

让学生理解完全平方

公式的运算对象的特

征。

三

、

学

以

致

用

，

训

（一）趁热打铁，小试身手

1、下列哪些式子可以选用完全平方公式进行计算：

用课件出示题目，引导学生解答。

（1）（xy）（xy）；

2；

（2）（x2y）

6 （3）（xy）（xy）；

练

思

维

发

散

点

；

（4）（x3y）（3yx）

2、填空：

（1）(xy)2x+____+y2

（2）(2ab)2（

）2－2×（

）×（

）+b

（3）(3m22

教师适时指导学生把哪个数（或代数式）看作公式中的a，把哪个数（或代数式）看作公式中的b。

12n)（

）2－2×（

）2×（

）+（

）2

（二）范例解析，巩固新知

例1

运用完全平方公式计算：

（1）(4mn)2；

（2）(y)；

（3）(mn)2

例题2

运用完全平方公式计算：

（1）102

（2）99

7 22122学生独立完成。

例题1的

第（1）题，由

师生共同完成，

教师黑板演示学生仿照老解题过程。第二师板演，独立完成第题学生独立完（2）题，尝成，第三题教师试完成第要注意点拨，这（3）题。

题可以把

“m”看作是

公式中的“a”，

用差的完全平

方公式计算，也

可以先提取负

号，把它转化为

和的完全平方

公式计算。

教师板演第（1）小题，第二小题学生独立完成。

学生独立完成，派代表在黑板上板演，并集体对答案。

通过第2题练习加深学生对公式中字母含义的理解，明确公式中字母含义的广泛性，经历从一般到特殊的理解过程。

1、通过例题学习，巩固完全平方公式。

2、例题1的第（3）题让学生明白(ab)2=(ab)2

例题2是数字计算题，容易使学生体会到公式的用途，可以激发学生的好奇心和学习的积极性。

（三）拓广探索，提升能力

图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形。

教师对有

困难学生进行

适当的指导。

（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长

是__________；

（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积：

方法一：__________________________；

方法二：__________________________。

（3）观察图（2），你能写出下列三个代数

式之间的等量关系吗？

代数式：(ab)2、(ab)2、ab

等量关系：_______________________。

（4）根据第（3）题中的等量关系解决如下问题：

若(ab)6，ab2，

则(ab)=_____________

2

学生小组合作完成。

此题的四个问由浅入深，培养了学生的观察力以及综合运用知识的能力，也进一步体现了本节课的数形结合思想。

以板书为

载体，引导学生学生总从代数式表示、结、质疑。

语言描述、几何背景三方面进行总结。然后让学生质疑。

8 四、

课堂小结形成系统

这节课我学会了……

总结可以帮助学生形成清晰的知识网络，质疑可以提高学生发现问题、解决问题的能力。

五

、

布

置

作

业

，

延

伸

新

知

教师布置作业。必做题是22（5）63；

（6）98

基础训练题，全2、

如图所示，下列四种图形中，图1 体同学必须完是长方形，图2、3、4是正方形，把图1、成；选做题是提2、3不重叠、无缝隙地拼在一起，则其面高训练题，可根积s=_______；图4的面积p=______；

据自己的能力，则s_____p（填“＞”、“＜”或“=”）。

选择完成。

选做题：

1、计算：

（1）(mn)(2m2n)；

（2）(xy5)2

（3）(abc)

2、选择题：

有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（

）

9 2

（1）(2a5b)2；（2）(4x3y)2；

22

（3）(2m1)2；（4）(1.5ab)；

必做题：

1、

运用完全平方公式计算：（课本P112第2题）

3

作业布置做到既面向全体学生，又给基础较好的学生充分的发展空间，满足不同学生的不同需求。

A．ab B．2ab

C．3ab D．a2b

六、板书设计

完全平方公式

例题展示区

(5

2)25225222

(a

b)2a22abb2

(a

b)2a22abb2

几何背景：

b

b

a

图Ⅰ

a

a

b

语言描述：

两个数的和（或差）的平方，等于它们的

平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

学生板演区

七、教学评价

本节课紧紧围绕着“完全平方公式如何得到和应用”这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出了不同的要求，使知识层层深入，环环紧扣。以变式练习为载体，及时了解学生对知识的掌握情况，并作出恰当的调整。

10