1.2余弦定理第二课时教案

1.1.2

余弦定理

一、教学目标

1.知识与技能

掌握正弦定理和余弦定理，并能运用定理解三角形；

2过程与方法

通过对特殊三角形边角间的数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会从特殊到一般的思想方法发现数学规律.

3.情感态度与价值观

（1）在利用数量积证明余弦定理的过程中，体会向量工具在解三角形的度量问题中的作用，进一步体会数学知识间的普遍联系与辩证统一。

（2）养成实事求是、扎实严谨的科学态度，培养自主探究的兴趣，学会用数学的方法提出问题、创新问题、解决问题，体验数学探究过程中的快乐.

二、学情分析

学生在初中已研究了直角三角形的边角关系及如何解直角三角形，但经常会碰到角或边放不到直角三角形中的情况，在此之下学生急切想知道如何解斜三角形，问题的引入会强烈的激发学生的学习热情，也为正弦定理的推导提供了思路，学生较易入手；必修4中向量的教学也为求线段的长做了奠基，使学生很容易的迁移到余弦定理中来。

三、重点难点

重点：正弦、余弦定理的发现、证明及基本应用。

难点：已知两边及一边的对角，解的个数的判定；理解余弦定理的作用及适用范围。

四、教学过程

第1学时

4.1.1 一、教学目标：

知识与技能

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法2.会利用余弦定理解决解三角形问题过程与方法

1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论

2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决基本的解三角形问题情感态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.养成实事求是、扎实严谨的科学态度，培养自主探究的兴趣，学会用数学的方法提出问题、创新问题、解决问题，体验数学探究过程中的快乐. 二、教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.

三、教学难点

1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程2.余弦定理在解三角形时的应用思路四、教学过程

五、导入新课

师

我们前面学习了正弦定理，下面回忆一下正弦定理的内容以及正弦定理可以解决的几类问题

学生回答（略）

师

如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。

我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题。

ABc，ACb，BCa，问：1.如图,设 那么向量c的平方是什么?表示为对应的边可以得到什么式子?

2.利用1的结论思考下面的问题: (1)已知三角形的三边a,b,c,如何表示cosC.

(2)若C=90°,1的结论还成立吗?如果成立写出该结论,若不成立说明理由.

1、余弦定理的定义: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍形式一

b2=c+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosC.

a2=b2+c2-2bccosA

形式二

b2c2a2cosA2bcc2a2b2

cosB2caa2b2c2

cosC2ab

师

在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.

【预习小测】

1.在△ABC中,已知 则A= (

) A.60°

B.30°

C.120° D.150°

222bca【解析】选C.cosA= b43,c23,a221,2bc2214323222243231，2

222又0°

(

) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定

222acb1【解析】选C.cosB= 

,2ac2所以acbac，即acbacacac0

3.已知在△ABC中,a=2,b=4,c=5,则cosA=________. 4.在△ABC中,若三角形的三条边长分别为4,5,7,则这个三角形是________三角形. 【解析】边长为7的边所对角为最大角,不妨设为C, 4252721由余弦定理得cosC= 0,2455

所以C为钝角,所以△ABC为钝角三角形. 答案:钝角

2222222、余弦定理的应用

类型一:利用余弦定理解三角形

【典例1】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

2

a5，c2，cos A，

3

则b= (

)

A.2 B.3 C.2 D.3

【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧

(1)已知三角形的两边及夹角解三角形,可以先由余弦定理求出第三条边,再由正弦定理求出一角,最后由A+B+C=180°,求出第三个角. 幻灯片22 (2)已知三角形的三边,可由余弦定理求三角形的两个内角,再由A+B+C=180°求出第三个角. 上述两种情况,运用余弦定理时,因为是已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理可知,三角形是确定的,因而解唯一. 【巩固训练】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2, 3c 23,cos A，且b

) 2

A.3 B.2 C.22 D.3

a23，b22，c6＋2，类型二:判断三角形形状

【典例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若ababc且 222c判断△ABC的形状. b3,【规律总结】三角形形状判断的技巧

(1)若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理. (2)若式子中含有角的正弦或是边的一次式,则考虑用正弦定理.

【巩固训练】在△ABC中,已知cos的形状.

六、课堂小结

2Abc (a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断△ABC22c

方法总结: 对余弦定理的理解

(1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立. (2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用:每个等式都涉及三边和一个角四个元素,在等式中可做到知三求一. 七、布置作业

课本第8页练习第1（1）、2（1）题

板书设计

余弦定理

1.余弦定理

2.证明方法(1)平面几何法余弦定理所能解决的两类问题: 已知三边求任意角;

(2)向量法

(2)已知两边、一角解三角形